测试1：前三章综合测试

范围：《自动控制技术及应用》第二版第一至第三章。
时间：90分钟（两节课）。 总分：100分，共六道大题。

姓名：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿

作答说明：写出必要步骤，标明参考方向与单位；允许使用普通科学计算器。所有系统均为连续线性定常系统；除题目另有说明外，初始条件为零。动态输入仅使用单位阶跃。第五题不要求计算上升时间和调节时间。

第一题　阶跃响应读图与性能指标（10分，建议8分钟）

下图为某系统在单位阶跃输入 $r(t)=1(t)$ 下的输出响应。曲线最终趋于水平稳态值，$t=4\,\mathrm s$ 后始终处于图示误差带内。误差定义为 $e(t)=r(t)-c(t)$。只需读图与简单运算，不要求推导响应公式。

1. 读出稳态值 $c(\infty)$，求稳态误差 $e_{\rm ss}$。（2分）
2. 读出延迟时间 $t_d$（首次达到稳态值50%的时刻）；按10%～90%定义求上升时间 $t_r$。（2分）
3. 读出峰值 $c_{\max}$、峰值时间 $t_p$，求最大超调量 $\sigma\%$。（3分）
4. 按5%误差带读出调节时间 $t_s$，说明“首次进入误差带”与“进入后始终保持在误差带内”的区别。（3分）

提示：$\sigma\%=[c_{\max}-c(\infty)]/c(\infty)\times100\%$。

第二题　拉氏变换与微分方程（15分，建议12分钟）

以下均取 $t\ge0$，采用单边拉氏变换。每小题5分。

1. 求 $f(t)=2+3e^{-2t}$ 的拉氏变换 $F(s)$。
2. 求 $F(s)=(s+3)/[(s+1)(s+2)]$ 的拉氏逆变换，并写出部分分式展开。
3. 用拉氏变换解 $y'(t)+2y(t)=2$，初始条件 $y(0)=0$；代回初值核对。

第三题　RL电路建模（20分，建议16分钟）

如下图，电阻与电感串联，$R=2\,\Omega$、$L=1\,\mathrm H$。输入为电源电压 $u_i(t)$，输出为电阻两端电压 $u_o(t)$，上正下负；电流顺时针。初始电流为零，输出端无其他负载。

1. 写出KVL方程与电阻电压关系。（5分）
2. 消去电流，建立输入、输出的微分方程，代入元件数值。（5分）
3. 在零初始条件下求传递函数 $G(s)=U_o(s)/U_i(s)$。（6分）
4. 求有限零点与极点，判断稳定性并说明理由。（4分）

第四题　信号流图与梅逊公式（15分，建议12分钟）

如下图，系统只有一个前向通道和两个反馈回路。各 $G_i,H_i$ 均为关于 $s$ 的传递函数，反馈负号已经标在支路上。必须用梅逊公式求 $T(s)=Y(s)/R(s)$。

1. 列出所有前向通路及增益。（3分）
2. 列出两个独立回路及增益，判断两回路是否相互接触。（4分）
3. 求特征式 $\Delta$ 与各前向通路余因子 $\Delta_k$。（4分）
4. 代入梅逊公式求 $T(s)$。（4分）

第五题　一阶系统的阶跃响应与基本性能（20分，建议16分钟）

已知系统 $G(s)=C(s)/R(s)=2/(s+2)$，输入为单位阶跃 $r(t)=1(t)$。误差定义为 $e(t)=r(t)-c(t)$。

1. 求时间常数和极点，判断稳定性。（4分）
2. 求输出的单位阶跃响应 $c(t)$，写出主要步骤。（6分）
3. 求 $c(0^+)$、$c(\infty)$ 和稳态误差 $e_{\rm ss}$。（6分）
4. 画响应示意图，说明有无超调；在静态增益保持不变时，时间常数增大会使响应变快还是变慢？（4分）

第六题　闭环稳定性与含扰动的比较点误差（20分，建议16分钟）

如下图，控制器 $G_c(s)=2$，被控对象 $G_p(s)=1/[s(s+1)(s+2)]$，单位负反馈。扰动 $D(s)$ 在控制器之后、被控对象之前正向加入。初始条件均为零，比较点误差为 $\varepsilon(t)=r(t)-c(t)$，记其变换为 $\mathcal E(s)$。

1. 列框图关系，求 $\mathcal E(s)$ 关于 $R(s)$、$D(s)$ 的表达式。（5分）
2. 写闭环特征方程，列完整劳斯表，判断稳定性。（5分）
3. 仅给定作用，$r(t)=1(t),\ d(t)=0$，求比较点稳态误差。（4分）
4. 仅扰动作用，$r(t)=0,\ d(t)=1(t)$，求比较点稳态误差；再求两者同时施加单位阶跃时的总误差，说明为什么必须保留正负号。（6分）

提示：使用终值定理前须检查适用条件；关闭一个外部输入时仍保留闭环结构。

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可用公式：

$$ \mathcal L\{1\}=\frac1s,\quad \mathcal L\{e^{-at}\}=\frac1{s+a},\quad \mathcal L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0). $$

$$ T(s)=\frac{\sum_kP_k\Delta_k}{\Delta},\qquad \Delta=1-\sum_iL_i+\sum_{i<j\text{，不接触}}L_iL_j-\cdots. $$

$$ f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)\quad\text{（须满足终值定理条件）}. $$